TÍTULO DEL PROYECTO
CALCULO DE VARIAS VARIABLES Y ECUACIONES DIFERENCIALES
2. OBJETIVOS
a. GENERAL
Aplicar los conocimientos de ecuaciones diferenciales en la resolución de problemas
b. ESPECIFICOS
* Resolver problemas relacionados con Ecuaciones diferenciales
* Resolver problemas con Varias variables.
3. METODOLOGIA (Como resuelvo)
Para convertir de coordenadas rectangulares a polares y viceversa se hace uso del teorema de pitagoras y de las funciones trignometricas .
Siendo en el teorema de pitagoras , que todo triangulo rectángulo , el cuadrado de la medida de su hipotenusa sera igual a la suma de los respectivos cuadrados de las medidas de los catetos
Los vectores tiene un Angulo recto y 2 ángulos agudos por tanto funcionan como triángulos, la suma de sus angulos es 180 grados .
En todo triangulo rectángulo las funciones trigonométricas son las siguiente :
· El seno será igual a la ordenada dividida para el radio vector
Senθ = =
· El coseno será igual a la abscisa dividida para el radio vector
Cosθ = =
· La tangente será igual a la ordenada dividida para la abscisa
Tagθ = =
Para convertir de coordenadas rectangulares a polares , Se debe sacar el modulo de las cordenadas rectangulares mediante el teorema de pitagoras, Ese modulo será el radio vector .
Para obtener el angulo se dividirá el valor de la ordenada para el valor de la abscisa , asi el resultado que tendemos será el valor de la tangente de su angulo, por tanto para sacar el angulo usaremos
1. MARCO TEORICO (que es)
(2 paginas)
El punto de intersección (0; 0) es considerado el origen de las coordenadas.
El eje de las X o eje horizontal, denominado abscisa es positivo a la derecha del origen y negativo a la izquierda del origen.
El eje de las Y o eje vertical, denominado ordenada es positivo hacia arriba del origen y negativo hacia abajo del origen.
La coordenada contiene 4 cuadrantes
Coordenadas Rectangulares
Este tipo de Coordenadas se caracteriza porque señala el punto usando la distancia en el eje de las x y la distancia en el eje de la y respecto al origen. Estos 2 ejes numéricos perpendiculares entre si forma las coordenadas rectangulares.
La posición del módulo queda determinada por un par de números ordenados de forma (X; Y), estos son llamados coordenadas rectangulares, los cuales corresponden al valor de la respectiva abscisa y ordenada.
El cuadrante donde se ubique dependerá del símbolo de sus ejes. Así si ambos son positivos se encontrara en el primer cuadrante: Si la abscisa es negativa y la ordenada es positiva, se encontrara en el segundo cuadrante; Si la abscisa y la ordenada son negativas se encontrara en el tercer cuadrante; si la abscisa es positiva y la ordenada es negativa, se encontrara en el cuarto cuadrante; si x o y son 0, se encontrara en las líneas del eje horizontal al que correspondan.
Por ejemplo (5; 3)
Se encuentra en el primer cuadrante, 5 en el eje de las abscisas y 3 en el eje de las ordenadas
C
oordenadas polares
Con las coordenadas polares se señala el punto diciendo la distancia del módulo y el ángulo que se forma con respecto al origen: a Este eje numérico de Referencia x, se lo denomina eje polar, en un punto de este se encuentra el origen o polo de coordenadas 0.
La posición de determina de la forma (r.θ) para un determinar un punto en el plano; siendo “r” el radio vector o modulo, representando el valor absoluto de la distancia entre el origen y el punto; y θ siendo el Angulo polar, representando la medida del Angulo formado entre el eje polar hasta el radio vector en sentido anti horario
El cuadrante donde se encuentra ubicado dependerá del Angulo que tenga ,Si su Angulo en menor a 90º se encontrara en el primer cuadrante , si su Angulo es mayor a 90º y menor a 180º se encontrara en el segundo cuadrante , si su Angulo es mayor a 180º y menor a 270º se encontrara en el tercer cuadrante , si su Angulo es mayor a 270º y menor a 360º se encontrara en el cuarto cuadrante ,si su Angulo es mayor a 360º se le debe restar tantas veces como sea posible 360º hasta llegar a un Angulo menor a 360 y aplicara las leyes ya antes establecidas . Si su Angulo es 90 se encontrara en el eje positivo de las ordenadas, si su Angulo es 180 se encontrara en el eje negativo de las abscisas. Si su angulo es 270 se encontrara en el eje negativo de las ordenadas , y si se tiene 360 o 0 grados se encontrara en el eje positivo de las abscisas , siendo su largo determinado por el modulo.
Por Ejemplo (10Km; 45º)
Se encuentra en el primer cuadrante al tener menos de 90 grados, en este caso con 10 km de largo .
a ley de Gauss, también conocida como teorema de Gauss fué enunciada por el matemático alemán Karl Friederich Gauss (1777-1855). Dicho matemático determinó en esta ley una relación entre el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada y la carga eléctrica que se encuentra en su interior.
El teorema de Gauss establece que el flujo de campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada es igual a la carga neta situada en su interior dividida por la constante dieléctrica del medio.
ΦE=∮SE→⋅dS→ = Qε
donde:
ΦE es el flujo neto de carga
E→ es la intensidad de campo eléctrico
dS→ es un diferencial del vector de superficie (trozo elemental de superficie)
Q es la carga contenida en la superficie
ε es la constante dieléctrica del medio.
Si observas con atención la expresión anterior puedes deducir facilmente que el flujo eléctrico no depende de la forma de la superficie cerrada, tan solo de la carga que posee en su interior y de la constante dieléctrica del medio.
El flujo eléctrico que circula a través de cualquier superficie cerrada no depende de la forma de dicha superficie.
Aplicaciones de la ley de Gauss
Aunque a la hora de calcular el campo eléctrico generado por ciertas superficies cargadas es posible hacer uso de la ley de Coulomb, en muchas ocasiones resulta más sencillo utilizar el teorema de Gauss sobre el flujo eléctrico. Para ello es común seguir los siguientes pasos:
1. Se escoge una superficie cerrada perpendicular al campo eléctrico y cuya área sea conocida para nosotros. Esta superficie recibe el nombre de superficie gaussiana y deberá envolver a la superficie que genera el campo.
2. Se aplica la expresión general del flujo eléctrico para cualquier tipo de superficie.
ΦE=∮SE→⋅dS→
3. El valor obtenido en el punto anterior se iguala a la expresión del teorema de Gauss.
ΦE= Qε
En concreto puedes estudiar la aplicación de esta estrategia en los siguientes casos:
El campo creado por una esfera uniformemente cargada
El campo creado por una lámina plana uniformemente cargada
El campo creado por un hilo cargado uniformemente
Comprobación de la ley de Gauss. Una esfera con una carga en su interior.
El caso más simple para calcular el flujo eléctrico es el del campo creado por una carga q contenida en una esfera de radio r. Tal y como estudiamos en el apartado de intensidad del campo eléctrico, la intensidad del campo eléctrico generado por una carga se obtiene por medio de la siguiente expresión:
E=q4⋅π⋅ε⋅r2
Flujo eléctrico que atraviesa una esfera que contiene una carga en su interior
En este caso, como en cada punto de la esfera se cumple que E→ y dS→ son paralelos, el flujo a través de la superficie esférica es:
ΦE=∮SE→⋅dS→ = ∮SE⋅dS⋅cos 0 = E∮SdS = E⋅S
Dado que la superficie de una esfera es S = 4·π·r2, entonces:
ΦE=q4⋅π⋅ε⋅r2⋅4⋅π⋅r2 =qε
Probablemente ya te habrás dado cuenta que independientemente del radio r que posea la esfera el flujo eléctrico es el mismo, pero no solo eso. Si observas la siguiente figura puedes darte cuenta de que independientemente de la figura que empleemos, todas ellas poseen el mismo flujo eléctrico cuando contienen a q en su interior.
En geometría diferencial, el teorema de Stokes, también llamado teorema de Stokes-Thomson, es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial en variedades diferenciables. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850.123 Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre
El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de una antiderivada F de f:
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}
El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente sentido:
Para la F elegida, {\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f}{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f}. En el lenguaje de las formas diferenciales es decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes se aplica a formas diferenciales mayores {\displaystyle \omega }\omega en vez de F.
En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una integral bien definida.
Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M con frontera. La frontera ∂M de M es una variedad en sí misma y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación de los dos puntos frontera. Intuitivamente a hereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos del intervalo. Entonces, integrando f en los dos puntos frontera a, b es equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).
Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites que encierran dicho intervalo:
{\displaystyle \int _{(a,b)}f(x)\,dx=\int _{(a,b)}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).}{\displaystyle \int _{(a,b)}f(x)\,dx=\int _{(a,b)}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).}
Por otro lado, el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones: relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una combinación de derivadas sobre un área limitada por la curva simple. Es decir:
{\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot d{\vec {s}}=\int _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} .}{\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot d{\vec {s}}=\int _{\partial D}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} .}
De forma similar, el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función sobre una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el interior del conjunto:
{\displaystyle \iint \limits _{\partial U}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =\iiint \limits _{U}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} \;dV.}{\displaystyle \iint \limits _{\partial U}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} =\iiint \limits _{U}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} \;dV.}
El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la integral sobre una frontera con la integral de una función «derivada» sobre el interior de la región limitada por la frontera.
Formulación general
Dada una variedad diferenciable {\displaystyle X}X de dimensión {\displaystyle n}n, y dada {\displaystyle \Omega }\Omega una variedad con borde en {\displaystyle X}X, si {\displaystyle \omega }\omega es una {\displaystyle (n-1)}{\displaystyle (n-1)}-forma, entonces se cumple que
{\displaystyle \int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.}{\displaystyle \int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.}
Aquí, {\displaystyle \mathrm {d} }{\displaystyle \mathrm {d} } es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.[cita requerida]
El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define.
El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham.
Casos especiales
El clásico teorema de Kelvin-Stokes
{\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}{\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}
El clásico teorema de Kelvin-Stokes relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano.
Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:
{\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times {\vec {A}})\cdot d{\vec {S}}=\oint _{L}{\vec {A}}\cdot d{\vec {l}}}{\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times {\vec {A}})\cdot d{\vec {S}}=\oint _{L}{\vec {A}}\cdot d{\vec {l}}}
donde {\displaystyle {\vec {A}}\,}{\displaystyle {\vec {A}}\,} es un campo vectorial cualquiera.
Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilínea) cerrada del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.
Teorema de Green
El teorema de Green es un caso especial del clásico teorema de Kelvin-Stokes cuando es aplicado a una región en el plano-xy.
Teorema de la divergencia
Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia:
{\displaystyle \iiint _{\mathrm {V} }\nabla \cdot \mathbf {F} \ d\mathrm {V} =\iint _{\partial \mathrm {V} }\mathbf {F} \cdot {\vec {\mathbf {n} }}\ d\mathbf {S} }{\displaystyle \iiint _{\mathrm {V} }\nabla \cdot \mathbf {F} \ d\mathrm {V} =\iint _{\partial \mathrm {V} }\mathbf {F} \cdot {\vec {\mathbf {n} }}\ d\mathbf {S} }
es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano.
Más casos
El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos especiales del teorema de Stokes generalizado.
La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de más alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los últimos son más accesibles y a menudo son considerados más convenientes por físicos e ingenieros.
Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo ( ) La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos: ( ) 5.2. Reducción de orden Este método consiste en reducir el problema de resolver una ecuación diferencial de segundo orden a un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaciones diferenciales de orden n Definiciones. Se define el problema del valor inicial de la ecuación diferencial lineal de orden n de la forma ( ) (x) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 0 0 n 1 y x0 y0 ,y x0 y0 ,...........y x y ¢ - - = ' = = Siendo a1(x)….a n(x) funciones continuas en un intervalo abierto I. Este problema tiene solución única en I
2. CRONOGRAMA
Cuando es por unidades en el cronograma deberán está establecido las etapas de cada nivel académico
6. RESULTADO PRODUCTO ALCANZADO
Sera delimitado por las UOC en cada una de las etapas.
SISTEMA RECTANGULAR
1
A=10,91m
F1 F2
h= 42m/sin30° h=10m/cos(47,5°)
h=84m h=14,80m
b= a=14,80*sin(47,5°)
b=72,74m a=10,91m
90+30=120
180-120=60
Ang=60°
7 .BIBLIOGRAFIA
P.Vallejo FISICA VECTORIAL .Edición 11, Ecuador, Ediciones RODIN, 2019.
J. Soriano FISICA PRIMERO BGU. Edición 10, Ecuador That Book Editorial, 2018.
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